Действие внешних сил на твердое тело приводит к возникновению в точках его объема напряжений и деформаций. При этом напряженное состояние в точке, связь между напряжениями на различных площадках, проходящих через эту точку, определяются уравнениями статики и не зависят от физических свойств материала. Деформированное состояние, связь между перемещениями и деформациями устанавливаются с привлечением геометрических или кинематических соображений и также не зависят от свойств материала. Для того чтобы установить связь между напряжениями и деформациями, необходимо учитывать реальные свойства материала и условия нагружения. Математические модели, описывающие соотношения между напряжениями и деформациями, разрабатываются на основе экспериментальных данных. Эти модели должны с достаточной степенью точности отражать реальные свойства материалов и условия нагружения.
Наиболее распространенными для конструкционных материалов являются модели упругости и пластичности. Упругость это свойство тела изменять форму и размеры под действием внешних нагрузок и восстанавливать исходную конфигурацию при снятии нагрузок. Математически свойство упругости выражается в установлении взаимно однозначной функциональной зависимости между.компонентами тензора напряжений и тензора деформаций. Свойство упругости отражает не только свойства материалов, но и условия нагружения. Для большинства конструкционных материалов свойство упругости проявляется при умеренных значениях внешних сил, приводящих к малым деформациям, и при малых скоростях нагружения, когда потери энергии за счет температурных эффектов пренебрежимо малы. Материал называется линейно-упругим, если компоненты тензора напряжений и тензора деформаций связаны линейными соотношениями.
При высоких уровнях нагружения, когда в теле возникают значительные деформации, материал частично теряет упругие свойства: при разгрузке его первоначальные размеры и форма полностью не восстанавливаются, а при полном снятии внешних нагрузок фиксируются остаточные деформации. В этом случае зависимость между напряжениями и деформациями перестает быть однозначной. Это свойство материала называется пластичностью. Накапливаемые в процессе пластического деформирования остаточные деформации называются пластическими.
Высокий уровень нагружения может вызвать разрушение, т. е. разделение тела на части. Твердые тела, выполненные из различных материалов, разрушаются при разной величине деформации. Разрушение носит хрупкий характер при малых деформациях и происходит, как правило, без заметных пластических деформаций. Такое разрушение характерно для чугуна, легированных сталей, бетона, стекла, керамики и некоторых других конструкционных материалов. Для малоуглеродистых сталей, цветных металлов, пластмасс характерен пластический тип разрушения при наличии значительных остаточных деформаций. Однако подразделение материалов по характеру разрушения на хрупкие и пластичные весьма условно, оно обычно относится к некоторым стандартным условиям эксплуатации. Один и тот же материал может вести себя в зависимости от условий (температура, характер нагружены я, технология изготовления и др.) как хрупкий или как пластичный. Например, пластичные при нормальной температуре материалы разрушаются как хрупкие при низких температурах. Поэтому правильнее говорить не о хрупких и пластичных материалах, а о хрупком или пластическом состоянии материала.
Пусть материал является линейно-упругим и изотропным. Рассмотрим элементарный объем, находящийся в условиях одноосного напряженного состояния (рис. 1), так что тензор напряжений имеет вид
При таком нагружении происходит увеличение размеров в направлении оси Ох, характеризуемое линейной деформацией , которая пропорциональна величине напряжения
Рис.1. Одноосное напряженное состояние
Это соотношение является математической записью закона Гука, устанавливающего пропорциональную зависимость между напряжением и соответствующей линейной деформацией при одноосном напряженном состоянии. Коэффициент пропорциональности E называется модулем продольной упругости или модулем Юнга. Он имеет размерность напряжений.
Наряду с увеличением размеров в направлении действия; же напряжения происходит уменьшение размеров в двух ортогональных направлениях (рис. 1). Соответствующие деформации обозначим через и , причем эти деформации отрицательны при положительных и пропорциональны :
При одновременном действии напряжений по трем ортогональным осям, когда отсутствуют касательные напряжения, для линейно-упругого материала справедлив принцип суперпозиции (наложения решений):
С учетом формул (1 4) получим
|
Касательные напряжения вызывают угловые деформации, причем при малых деформациях они не влияют на изменение линейных размеров, и следовательно, на линейные деформации. Поэтому они справедливы также в случае произвольного напряженного состояния и выражают так называемый обобщенный закон Гука.
Угловая деформация обусловлена касательным напряжением , а деформации и соответственно напряжениями и . Между соответствующими касательными напряжениями и угловыми деформациями для линейно-упругого изотропного тела существуют пропорциональные зависимости
которые выражают закон Гука при сдвиге. Коэффициент пропорциональности G называется модулем сдвига. Существенно, что нормальное напряжение не влияет на угловые деформации, так как при этом изменяются только линейные размеры отрезков, а не углы между ними (рис. 1).
Линейная зависимость существует также между средним напряжением (2.18), пропорциональным первому инварианту тензора напряжений, и объемной деформацией (2.32), совпадающей с первым инвариантом тензора деформаций:
Рис.2. Плоская деформация сдвига
Соответствующий коэффициент пропорциональности К называется объемным модулем упругости.
В формулы (1 7) входят упругие характеристики материала Е, , G и К, определяющие его упругие свойства. Однако эти характеристики не являются независимыми. Для изотропного материала независимыми упругими характеристиками являются две, в качестве которых обычно выбираются модуль упругости Е и коэффициент Пуассона . Чтобы выразить модуль сдвига G через Е и , рассмотрим плоскую деформацию сдвига под действием касательных напряжений (рис. 2). Для упрощения выкладок используем квадратный элемент со стороной а. Вычислим главные напряжения , . Эти напряжения действуют на площадках, расположенных под углом к исходным площадкам. Из рис. 2 найдем связь между линейной деформацией в направлении действия напряжения и угловой деформацией . Большая диагональ ромба, характеризующая деформацию , равна
Для малых деформаций
С учетом этих соотношений
До деформации эта диагональ имела размер . Тогда будем иметь
Из обобщенного закона Гука (5) получим
Сравнение полученной формулы с записью закона Гука при сдвиге (6) дает
В итоге получим
Сравнивая это выражение с объемным законом Гука (7), приходим к результату
Механические характеристики Е, , G и К находятся после обработки экспериментальных данных испытаний образцов на различные виды нагрузок. Из физического смысла все эти характеристики не могут быть отрицательными. Кроме того, из последнего выражения следует, что коэффициент Пуассона для изотропного материала не превышает значения 1/2. Таким образом, получаем следующие ограничения для упругих постоянных изотропного материала:
Предельное значение приводит к предельному значению , что соответствует несжимаемому материалу ( при ). В заключение выразим из соотношений упругости (5) напряжения через деформации. Запишем первое из соотношений (5) в виде
С использованием равенства (9) будем иметь
Аналогичные соотношения можно вывести для и . В результате получим
|
Здесь использовано соотношение (8) для модуля сдвига. Кроме того, введено обозначение
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ УПРУГОЙ ДЕФОРМАЦИИ
Рассмотрим вначале элементарный объем dV=dxdydz
в условиях одноосного напряженного состояния (рис. 1). Мысленно закрепим площадку х=0
(рис. 3). На противоположную площадку действует сила .
Эта сила совершает работу на перемещении .
При увеличении напряжения от нулевого уровня до значения
соответствующая деформация в силу закона Гука также увеличивается от нуля до значения ,
а работа пропорциональна заштрихованной на рис. 4 площади: 
. Если пренебречь кинетической энергией и потерями, связанными с тепловыми, электромагнитными и другими явлениями, то в силу закона сохранения энергии совершаемая работа перейдет в потенциальную энергию,
накапливаемую в процессе деформирования: .
Величина Ф=dU / dV
называется удельной потенциальной энергией деформации,
имеющей смысл потенциальной энергии, накопленной в единице объема тела. В случае одноосного напряженного состояния
Законом Гука обычно называют линейные соотношения между компонентами деформаций и компонентами напряжений.
Возьмем элементарный прямоугольный параллелепипед с гранями, параллельными координатным осям, нагруженный нормальным напряжением σ х , равномерно распределенным по двум противоположным граням (рис. 1). При этом σ y = σ z = τ х y = τ х z = τ yz = 0.
Вплоть до достижения предела пропорциональности относительное удлинение дается формулой
где Е — модуль упругости при растяжении. Для стали Е = 2*10 5 МПа , поэтому деформации очень малы и измеряются в процентах или в 1*10 5 (в тензометрических приборах, измеряющих деформации).
Удлинение элемента в направлении оси х сопровождается его сужением в поперечном направлении, определяемом компонентами деформаций
где μ - константа, называемая коэффициентом поперечного сжатия или коэффициентом Пуассона. Для стали μ обычно принимается равным 0,25-0,3.
Если рассматриваемый элемент нагружен одновременно нормальными напряжениями σ x , σ y , σ z , равномерно распределенными по его граням, то добавляются деформации
Производя наложение компонент деформации, вызванных каждым из трех напряжений, получим соотношения
Эти соотношения подтверждаются многочисленными экспериментами. Примененный метод наложения или суперпозиции для отыскания полных деформаций и напряжений, вызванных несколькими силами, является законным, пока деформации и напряжения малы и линейно зависят от приложенных сил. В таких случаях мы пренебрегаем малыми изменениями размеров деформируемого тела и малыми перемещениями точек приложения внешних сил и основываем наши вычисления на начальных размерах и начальной форме тела.
Следует отметить, что из малости перемещений еще не следует линейность соотношений между силами и деформациями. Так, например, в сжатом силами Q стержне, нагруженном дополнительно поперечной силой Р , даже при малом прогибе δ возникает дополнительный момент М = Qδ , который делает задачу нелинейной. В таких случаях полные прогибы не являются линейными функциями усилий и не могут быть получены с помощью простого наложения (суперпозиции).
Экспериментально установлено, что если касательные напряжения действуют по всем граням элемента, то искажение соответствующего угла зависит только от соответствующих компонентов касательного напряжения.
Константа G называется модулем упругости при сдвиге или модулем сдвига.
Общий случай деформации элемента от действия на него трех нормальных и трех касательных компонентов напряжений можно получить с помощью наложения: на три линейные деформации, определяемые выражениями (5.2а), накладываются три деформации сдвига, определяемые соотношениями (5.2б). Уравнения (5.2а) и (5.2б) определяют связь между компонентами деформаций и напряжений и называются обобщенным законом Гука . Покажем теперь, что модуль сдвига G выражается через модуль упругости при растяжении Е и коэффициент Пуассона μ . Для этого рассмотрим частный случай, когда σ х = σ , σ y = -σ и σ z = 0.
Вырежем элемент abcd плоскостями, параллельными оси z и наклоненными под углом 45° к осям х и у (рис. 3). Как следует из условий равновесия элемента 0bс , нормальные напряжения σ v на всех гранях элемента abcd равны нулю, а касательные напряжения равны
Такое напряженное состояние называется чистым сдвигом . Из уравнений (5.2а) следует, что
то есть удлинение горизонтального элемента 0c равно укорочению вертикального элемента 0b : ε y = -ε x .
Угол между гранями аb и bc изменяется, и соответствующую величину деформации сдвига γ можно найти из треугольника 0bс :
Отсюда следует, что
Как известно, физика изучает все законы природы: начиная от простейших и заканчивая наиболее общими принципами естествознания. Даже в тех областях, где, казалось бы, физика не способна разобраться, все равно она играет первоочередную роль, и каждый малейший закон, каждый принцип — ничто не ускользает от нее.
Вконтакте
Именно физика является основой основ, именно эта лежит в истоках всех наук.
Физика изучает взаимодействие всех тел, как парадоксально маленьких, так и невероятно больших. Современная физика активно изучает не просто маленькие, а гипотетические тела, и даже это проливает свет на суть мироздания.
Физика поделена на разделы, это упрощает не только саму науку и понимание ее, но и методологию изучения. Механика занимается движением тел и взаимодействием движущихся тел, термодинамика — тепловыми процессами, электродинамика — электрическими.
Почему деформацию должна изучать механика
Говоря о сжатиях или растяжениях, следует задать себе вопрос: какой раздел физики должен изучать этот процесс? При сильных искажениях может выделяться тепло, быть может, этими процессами должна заниматься термодинамика? Иногда при сжатии жидкостей, она начинает кипеть, а при сжатии газов — образуются жидкости? Так что же, деформацию должна познавать гидродинамика? Или молекулярно-кинетическая теория?
Всё зависит от силы деформации, от ее степени. Если деформируемая среда (материал, который сжимают или растягивают) позволяет, а сжатие невелико, есть смысл рассматривать этот процесс как движение одних точек тела относительно других.
А раз вопрос касается сугубо , значит, заниматься этим будет механика.
Закон Гука и условие его выполнения
В 1660 году известный английский ученый Роберт Гук открыл явление, при помощи которого можно механически описать процесс деформаций.
Для того чтобы понимать при каких условиях выполняется закон Гука, ограничимся двумя параметрами:
- среда;
- сила.
Есть такие среды (например, газы, жидкости, особо вязкие жидкости, близкие к твердым состояниям или, наоборот, очень текучие жидкости) для которых описать процесс механически никак не получится. И наоборот, существуют такие среды, в которых при достаточно больших силах механика перестает «срабатывать».
Важно! На вопрос: «При каких условиях выполняется закон Гука?», можно дать определенный ответ: «При малых деформациях».
Закон Гука, определение : деформация, которая возникает в теле, прямо пропорциональна силе, которая вызывает эту деформацию.
Естественно, это определение подразумевает, что:
- сжатия или растяжения невелики;
- предмет упругий;
- он состоит из материала, при котором в результате сжатия или растяжения нет нелинейных процессов.
Закон Гука в математической форме
Формулировка Гука, которую мы привели выше, дает возможность записать его в следующем виде:
где — изменение длины тела вследствие сжатия или растяжения, F — сила, приложенная к телу и вызывающая деформацию (сила упругости), k — коэффициент упругости, измеряется в Н/м.
Следует помнить, что закон Гука справедлив только для малых растяжений.
Также отметим, что он при растяжении и сжатии имеет один и тот же вид. Учитывая, что сила — величина векторная и имеет направление, то в случае сжатия, более точной будет такая формула:
Но опять-таки, все зависит от того куда будет направлена ось, относительно которой вы проводите измерение .
В чем кардинальная разница между сжатием и растяжением? Ни в чем, если оно незначительно.
Степень применимости можно рассмотреть в таком виде:
Обратим внимание на график. Как видим, при небольших растяжениях (первая четверть координат) долгое время сила с координатой имеет линейную связь (красная прямая), но затем реальная зависимость (пунктир) становится нелинейной, и закон перестает выполняться. На практике это отражается таким сильным растяжением, что пружина перестает возвращаться в исходное положение, теряет свойства. При еще большем растяжении происходит излом, и разрушается структура материала.
При небольших сжатиях (третья четверть координат) долгое время сила с координатой имеет тоже линейную связь (красная прямая), но затем реальная зависимость (пунктир) становится нелинейной, и всё вновь перестает выполняться. На практике это отражается таким сильным сжатием, что начинает выделяться тепло и пружина теряет свойства. При еще большем сжатии происходит «слипание» витков пружины и она начинает деформироваться по вертикали, а затем и вовсе плавиться.
Как видим формула, выражающая закон, позволяет находить силу, зная изменение длины тела, либо, зная силу упругости, измерить изменение длины:
Также, в отдельных случаях можно находить коэффициент упругости. Для того, чтобы понять как это делается, рассмотрим пример задачи:
К пружине подсоединен динамометр. Ее растянули, приложив силу в 20 , из-за чего она стала иметь длину 1 метр. Затем ее отпустили, подождали пока прекратятся колебания, и она вернулась к своему нормальному состоянию. В нормальном состоянии ее длина составляла 87, 5 сантиметров. Давайте попробуем узнать, из какого материала сделана пружина.
Найдем численное значение деформации пружины:
Отсюда можем выразить значение коэффициента:
Посмотрев таблицу, можем обнаружить, что этот показатель соответствует пружинной стали.
Неприятности с коэффициентом упругости
Физика, как известно, наука очень точная, более того, она настолько точна, что создала целые прикладные науки, измеряющие погрешности. Будучи эталоном непоколебимой точности, она не может себе позволить быть нескладной.
Практика показывает, что рассмотренная нами линейная зависимость, является ничем иным как законом Гука для тонкого и растяжимого стержня. Лишь в качестве исключения можно применять его для пружин, но даже это является нежелательным.
Оказывается, что коэффициент k — переменная величина, которая зависит не только от того из какого материала тело, но и от диаметра и его линейных размеров.
По этой причине, наши умозаключения требуют уточнений и развития, ведь иначе, формулу:
нельзя назвать ничем иным как зависимостью между тремя переменными.
Модуль Юнга
Давайте попробуем разобраться с коэффициентом упругости. Этот параметр, как мы выяснили, зависит от трех величин :
- материала (что нас вполне устраивает);
- длины L (что указывает на его зависимость от);
- площади S.
Важно! Таким образом, если нам удастся каким-то образом «отделить» из коэффициента длину L и площадь S, то мы получим коэффициент, полностью зависящий от материала.
Что нам известно:
- чем больше площадь сечения тела, тем больше коэффициент k, причем зависимость линейная;
- чем больше длина тела, тем меньше коэффициент k, причем зависимость обратно пропорциональная.
Значит, мы можем, коэффициент упругости записать таким образом:
причем Е — новый коэффициент, который теперь точно зависит исключительно от типа материала.
Введем понятие “относительное удлинение”:
.
Вывод
Сформулируем закон Гука при растяжении и сжатии : при малых сжатиях нормальное напряжение прямо пропорционально относительному удлинению.
Коэффициент Е называется модулем Юнга и зависит исключительно от материала.
Министерство образования АР Крым
Таврический Национальный Университет им. Вернадского
Исследование физического закона
ЗАКОН ГУКА
Выполнил: студент 1 курса
физического факультета гр. Ф-111
Потапов Евгений
Симферополь-2010
План:
Связь между какими явлениями или величинами выражает закон.
Формулировка закона
Математическое выражение закона.
Каким образом был открыт закон: на основе опытных данных или теоретически.
Опытные факты на основе которого был сформулирован закон.
Опыты, подтверждающие справедливость закона, сформулированного на основе теории.
Примеры использования закона и учета действия закона на практике.
Литература.
Связь между какими явлениями или величинами выражает закон:
Закон Гука связывает такие явления, как напряжение и деформацию твердого тела, модуль силы упругости и удлинение. Модуль силы упругости, возникающей при деформации тела, пропорционален его удлинению. Удлинением называется характеристика деформативности материала, оцениваемая по увеличению длины образца из этого материала при растяжении. Си́ла упру́гости - сила, возникающая при деформации тела и противодействующая этой деформации. Напряжение - это мера внутренних сил, возникающих в деформируемом теле под влиянием внешних воздействий. Деформа́ция - изменение взаимного положения частиц тела, связанное с их перемещением друг относительно друга. Эти понятия связаны так называемым коэффициентом жесткости. Он зависит от упругих свойств материала и размеров тела.
Формулировка закона:
Зако́н Гу́ка - уравнение теории упругости, связывающее напряжение и деформацию упругой среды.
Формулировка закона - сила упругости прямо пропорциональна деформации.
Математическое выражение закона:
Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:
Здесь F сила натяжения стержня, Δl - его удлинение(сжатие), а k называется коэффициентом упругости (или жёсткостью). Минус в уравнении указывает на то, что сила натяжения всегда направлена в сторону, противоположную деформации.
Если ввести относительное удлинение
и нормальное напряжение в поперечном сечении
то закон Гука запишется так
В такой форме он справедлив для любых малых объёмов вещества.
В общем случае напряжения и деформации являются тензорами второго ранга в трёхмерном пространстве (имеют по 9 компонент). Связывающий их тензор упругих постоянных является тензором четвёртого ранга C ijkl и содержит 81 коэффициент. Вследствие симметрии тензора C ijkl , а также тензоров напряжений и деформаций, независимыми являются только 21 постоянная. Закон Гука выглядит следующим образом:
где σ ij - тензор напряжений, - тензор деформаций. Для изотропного материала тензор C ijkl содержит только два независимых коэффициента.
Каким образом был открыт закон: на основе опытных данных или теоретически:
Закон был открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком (Хуком) на основе наблюдений и экспериментов. Открытие, как утверждал Гук в своём сочинении «De potentia restitutiva», опубликованном в 1678, сделано им за 18 лет до этого времени, а в 1676 было помещено в другой его книге под видом анаграммы «ceiiinosssttuv», означающей «Ut tensio sic vis». По объяснению автора, вышесказанный закон пропорциональности применяется не только к металлам, но и к дереву, камням, рогу, костям, стеклу, шёлку, волосу и проч.
Опытные факты на основе которых был сформулирован закон:
История об этом умалчивает..
Опыты, подтверждающие справедливость закона, сформулированного на основе теории:
Закон сформулирован на основе опытных данных. Действительно, при растягивании тела (проволоки) с определенным коэффициентом жесткости k на расстояние Δl, то их произведение будет равно по модулю силе, растягивающей тело (проволоку). Такое соотношение будет выполняться, однако, не для всех деформаций, а для небольших. При больших деформациях закон Гука перестает действовать, тело разрушается.
Примеры использования закона и учета действия закона на практике:
Как следует из закона Гука, по удлинению пружины можно судить о силе, действующей на нее. Этот факт используется для измерения сил с помощью динамометра – пружины с линейной шкалой, проградуированной на разные значения сил.
Литература.
1. Интернет-ресурсы: - сайт Википедия (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%93%D1%83%D0%BA%D0%B0).
2. учебник по физике Перышкин А.В. 9 класс
3. учебник по физике В.А. Касьянов 10 класс
4. лекции по механике Рябушкин Д.С.
Наблюдения показывают, что для большинства упругих тел, таких, как сталь, бронза, дерево и др., величины деформаций пропорциональны величинам действующих сил. Типичный пример, поясняющий это свойство, представляют пружинные весы, у которых удлинение пружины пропорционально действующей силе. Это видно из того, что шкала делений у таких весов равномерна. Как общее свойство упругих тел закон пропорциональности между силой и деформацией был впервые сформулирован Р. Гуком в 1660 г. и опубликован в 1678 г. в сочинении «De potentia restitutiva». В современной формулировке этого закона рассматривают не силы и перемещения точек их приложения, а напряжение и деформацию.
Так, для чистого растяжения полагают:
Здесь - относительное удлинение любого отрезка, взятого в направлении растяжения. Например, если ребра изображенной на рис. 11 призмы до приложения нагрузки были а, b и с, как показано на чертеже, а после деформации они будут соответственно , тогда .
Постоянная Е, имеющая размерность напряжения, называется модулем упругости, или модулем Юнга.
Растяжение элементов, параллельных действующим напряжениям о, сопровождается сокращением перпендикулярных элементов, то есть уменьшением поперечных размеров стержня (на чертеже - размеры ). Относительная поперечная деформация
будет величиной отрицательной. Оказывается, что продольная и поперечная деформации в упругом теле связаны постоянным отношением:
Безразмерная величина v, постоянная для каждого материала, называется коэффициентом поперечного сжатия или коэффициентом Пуассона. Сам Пуассон, исходивший из теоретических соображений, которые оказались впоследствии неверными, считал, что для всех материалов (1829). На самом деле значения этого коэффициента различны. Так, для стали
Заменяя в последней формуле выражением получим:
Закон Гука не является точным законом. Для стали отклонения от пропорциональности между незначительны, тогда как чугун или резнна явно этому закону не подчиняются. Для них причем может быть аппроксимирована линейной функцией разве лишь в самом грубом приближении.
В течение долгого времени сопротивление материалов занималось лишь материалами, подчиняющимися закону Гука, и приложение формул сопротивления материалов к другим телам можно было делать только с большой натяжкой. В настоящее время нелинейные законы упругости начинают изучаться и применяться к решению конкретных задач.